Grenzwert
Grenzwerte sind Zahlenwerte, welche eine Grenze für ein System darstellen, wonach alle Zustandsgrößen nur innerhalb der Grenzen ausfallen dürfen, damit das bestehende System erhalten bleibt. Ein Beispiel für den Grenzwert ist die Kapazitätsgrenze einer Fertigungsmaschine, welche die maximale Auslastung mit einem bestimmten Zahlenwert (Ausbringungsmenge) als Grenze belegt.
Umgangssprache
Das Adjektiv grenzwertig wird dazu gebraucht, um ein Verhalten oder einen Vorgang zu beschreiben, deren Auswirkungen für ein System im Höchstmaß unangenehm sind, allerdings dieses nicht zwingend schädigen. Um die Schädigung abzuwenden, bedarf es einer Korrektur, welche mit einer Anstrengung bzw. Strapaze verbunden ist.
Mathematik
In der Mathematik betrachtet man Grenzwerte als Ergebnis einer Folge oder einer Funktion. Besitzen diese einen Grenzwert nennt man dies Konvergenz, andernfalls Divergenz.
Die mathematische Folge 1/x besitzt einen Grenzwert und konvergiert gegen 0. Denn durch Einsetzen von aufsteigenden Folgeglieder, wie zum Beispiel 1 und 2 – bemerkt man, dass das Ergebnis des Bruchs immer kleiner wird. War das Ergebnis bei 1/1 noch 1, so halbiert es sich bei Einsetzen der Zahl zwei (½) und nimmt den Wert 0,5 an. Würde man die Folge beliebig fortführen, würden sich immer kleinere Ergebnisse ergeben.
- ⅓ = 0,33
- ¼ = 0,25
- 1/1000 = 0,001
- 1/10000=0,0001
Aber ganz egal wie groß die Folgeglieder werden, das Ergebnis wird nicht Null erreichen. Stattdessen wird es durch Einsetzen jedes größeren Folgeglieds immer kleiner und sich an den Wert Null weiter annähern bzw. konvergieren.
Die Folge (-1)x hingegen wird stets alternieren. Es werden sich also immer die Vorzeichen wechseln, wodurch es zu keinem Grenzwert kommt. Stattdessen wird das Ergebnis entweder 1 oder -1 sein.
- (-1)1 = -1
- (-1)2 = -1 * -1 = 1
- (-1)3 = -1 * -1 * -1 = -1
- (-1)4 = -1 * -1 * -1 * -1 = 1
Da diese Folge keinen Grenzwert besitzt, bezeichnet man dies als Divergenz.
Biologie und Psychologie
Der Grenzwert wird in der Biologie und in der Psychologie, insbesondere bei der Wahrnehmung, auch als „eben merklicher Unterschied“ bezeichnet. Gemeint sind Intensitätsunterschiede zwischen zwei Reizen, wobei ein Reiz als Standard und der andere als Vergleich dient. Der Intensitätsunterschied zwischen beiden muss vorhanden sein, um eine Empfindung zu spüren.
Die Unterschiedsschwelle zwischen nicht wahrgenommener Intensität A und wahrgenommener Intensität B wird als Grenzwert bezeichnet. Bemerkt das Individuum eine Zunahme oder Abnahme der Intensität eines Reizes, befindet sich die Reizintensität auf dem Grenzwert. Deshalb wird in der Psychophysik, welche genau diese Reizphänomene untersucht, der Grenzwert auch als Empfindungseinheit bei Unterschiedsschwellen angesehen.
Wirtschaft
In der Betriebswirtschaft und der Volkswirtschaft sind Grenzwerte alle Zustandsgrößen, welche sich ändern – sobald eine weitere Mengeneinheit produziert wird. So ist der Grenzerlös bzw. Grenzertrag, der Umsatz – welcher erzielt wird – beim Verkauf einer weiteren Wareneinheit. Grenzkosten sind die Kosten, welche anfallen würden – sobald eine weitere Wareneinheit produziert werden würde. Weitere Betrachtungsgrößen sind Grenzprodukt, Grenznutzen oder Grenzpreise.
Das Konzept dieser Grenzwerte basiert darauf, dass die Produktion nicht unendlich oft wiederholt werden kann und stattdessen gewissen Restriktionen (Grenzen) unterliegt. An der Kapazitätsgrenze eines Systems müssen neue Komponenten (z.B. Maschinen, Lagerhallen) dazugekauft werden oder Mitarbeiter eingestellt werden, wodurch sich die Kosten der Produktion – schon bei der ersten zusätzlichen Wareneinheit – sprunghaft erhöhen würden. Die Gegenüberstellung von Grenzwert und Grenzertrag findet deshalb oftmals an diesen Grenzen statt.
Da ein Unternehmen oder die Volkswirtschaft allerdings auch ein dynamisches System darstellen, in welchem ständig Ressourcen ausfallen oder abwandern – kann diese Grenzwertbetrachtung auch permanent erfolgen. Denn sobald eine Fertigungsmaschine ausfällt, ein Wirtschaftszweig wegbricht oder ein Mitarbeiter kündigt, verschiebt sich die Kapazitätsgrenze – weshalb es zur neuen Bewertung der Grenzgrößen kommt.
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