Mathematische Grundlagen des Dezimalsystems für Java Programmierung

• Allein schon für die technische Umsetzung beim Runden einer Zahl.
• Oder du möchtest den Kehrwert bzw. den Umkehrwert einer Zahl im Programm bestimmen lassen.
• Aber auch für das Herausfinden des Stellenwertes – also wieviel Stellen hat eine Zahl – benötigst du das Grundwissen des Dezimalsystems.

Denn dem Computer musst du all diese Dinge erklären können, bevor er überhaupt etwas machen kann.

Und deshalb stellt sich die Frage:

„Wie kann ich dem Computer zum Beispiel beibringen – eine Zahl umzudrehen?“

Die Grundlage bildet das Zahlensystem der dezimalen Zahlen.

Aber eigentlich sollte das Dezimalsystem dir bekannt sein.
Schließlich ist es unser normales Zahlensystem, welches du und ich täglich nutzen.
Es besteht aus insgesamt 10 Ziffern – den Ziffern 0 bis 9.
Und mit diesen 10 Ziffern, lässt sich jede erdenkliche Zahl bilden.
 
Wobei nutzen du und ich das System?
Eigentlich bei allem.
Schau doch einmal dein Telefon an.
Dort befinden sich die Ziffern 0-9.
Und mit diesen 10 Ziffern kannst du jede Telefonnummer wählen oder herstellen, welche du brauchst.
 
Aber auch jede Maßeinheit, sei es Kilometer, Kilogramm oder Kilowatt ist eine Dezimaleinheit.
Denn ein Kilogramm sind 1000 Gramm.
Und dies wiederum lässt sich auf die Zahl 10 zurückführen.
Denn 1000 ist nichts Anderes als 10x10x10.
 
Wahrscheinlich hat sich dieses 10-Zahlen-System durchgesetzt, weil es einfach praktisch ist.
Wir haben 10 Finger.
Und somit können wir alle recht leicht abzählen.
Brauchen wir mehr als 10 Finger, zählen wir neu.
 
Die Zahl 17 würde dann bedeuten:
10 Finger + 7 Finger.
So einfach ist das System.
 
Und dieses einfache System benötigst du hin und wieder bei der Java Programmierung.
Aber dafür müssen wir uns dieses 10-Finger oder 10-Zahlen System doch noch genauer anschauen.

In diesem Beitrag möchte ich dir, den Aufbau des Dezimalsystems aus einem Programmierungsblickwinkel heraus vorstellen. 
Diese mathematischen Grundlagen und Fertigkeiten sind wichtig, um in Java Programmabläufe – wie Runden oder Zahl umkehren – umsetzen zu können.
 

Alle Rechenarten im Dezimalsystem lassen sich auf die Grundrechenarten Addition und Subtraktion reduzieren.

Mit Plus und Minus kannst du also alles ausrechnen.
 
Nehmen wir die Gleichung 5².
Dies ist eine Potenz.
Und 5² ist gleich 25.
 
Doch wieso?
5² ist nichts anderes als 5 x 5.
 
Es geht aber noch weiter.
Denn 5 x 5 ist nichts anderes als 5 + 5 + 5 + 5 + 5.
5 mal eben.
 
Und somit lässt sich jede Potenz, aber auch jede Multiplikation mit einem Plusoperator bzw. der Addition darstellen.
 

Was ist mit der Subtraktion?

Die Quadratwurzel ist das Gegenstück zur Potenz.
Und deshalb nennt man diese auch 2-Wurzel.
Die zwei spielt somit eine zentrale Rolle.
Wenn 5² = 25 ist, dann ist die Quadratwurzel aus 25 demnach 5.
 
Okay.
Somit kannst du die Quadratwurzel aus 25 auch so darstellen.

• 25 / 5 = 5.
• Bleibt etwas über?
  Ja – die 5.
  Und lässt sich diese Zahl weiterhin durch 5 teilen?
  Ja klar. Also nochmal teilen.
• Dann teilst du den Rest 5 wieder durch 5.
• Was bleibt über?
  1 – Denn 5 /5 = 1.
  Lässt sich die 1 nochmal durch 5 teilen.
  Nein – und somit konnte man die 25 genau zweimal durch 5 teilen.

Die zweite Wurzel aus 25 ist somit 5.
In der kompletten Divisionsschreibweise würde dies dann so aussehen: 25 / 5 / 5 =1.
 
Aber du kannst aus jeder Division auch eine Subtraktion machen.
Denn 25 /5 ist das Gleiche, wie 25 – 5- 5- 5- 5 -5.
5 mal eben.
 

Jede Zahl in einem Dezimalsystem ist eine 10-Potenz

Aber ganz langsam.
Ich wiederhole noch einmal ganz kurz.

• Jedes Potenzieren, also hoch irgendetwas, kannst du auch als Multiplikation mit einem Mal-Operator darstellen.
• Jede Multiplikation kannst du auch als Addition mit dem Pluszeichen darstellen.
  Somit ist auch jedes Potenzieren über eine Addition darstellbar.
• Da das Gegenstück zum Potenzieren – das Wurzelziehen ist…..
  Kannst du das Wurzelziehen auch mit dem Gegenstück zur Multiplikation – der Division darstellen.
• Und jede Division ist über die Subtraktion darstellbar.
  Somit kann auch das Wurzelziehen über die Subtraktion bzw. mit dem Minus-Operator dargestellt werden.

Soweit – so gut.
Jetzt kommen wir noch zu ein paar grundlegenden Begriffen der Potenzen.

• Das Ergebnis einer „Hoch-Irgendetwas-Rechnung“ bezeichnet man als Potenz.
  Daher der Name Potenzieren.
• Außerdem gibt es einen Basiswert, welcher dem Faktor der Multiplikation entsprechen würde.
• Der Exponent ist die Anzahl, wie oft der Faktor mit sich selbst multipliziert werden würde.

Nehmen wir die Gleichung 5².

• Die Potenz oder das Ergebnis der Gleichung wäre dann 25.
• Die Basis, also der Faktor wäre 5. Denn 5 x 5 ist 25.
• Der Exponent ist 2, denn der Faktor 5 tritt zweimal in der Gleichung auf.

Okay. Jetzt sage ich:
In einem Dezimalsystem lässt sich jede Zahl als 10 Potenz darstellen.
 
Und wie?

• 8000 = 8 mal 10 hoch 3.
• 500 = 5 mal 10 hoch 2.
• 40 = 4 mal 10 hoch 1
• 3 = 3 mal 10 hoch 0.
• 0,7 = 7 mal 10 hoch -1.
• 0,06 = 6 mal 10 hoch -2.

Okay, aber wozu brauchst du als Java Programmierer diese Kenntnisse über das Dezimalsystem?

Lass mich dies mit Fragen beantworten?
Wie bringst du deinem Java Programm bei – die Stellen einer Zahl zu zählen.
Also ganz konkret, wie viele Stellen hat die Zahl 8543,76?
Klar – indem du in einer Schleife die 10-Potenzen herunterzählen lässt.
Hier ist das Beispiel dazu.

Oder ein anderes Beispiel.
Wie bringst du deinem Java Programm bei – den Kehrwert einer Zahl zu bilden?
Der Kehrwert von 8543 wäre demnach 3458.
Aber wie bringt man dies dem Computer bei?
Indem man die Zehnerpotenzen von vorn nach hinten, zählen lässt.

• 8000 = 8 mal 10 hoch 3.
• 500 = 5 mal 10 hoch 2.
• 40 = 4 mal 10 hoch 1.
• 3 = 3 mal 10 hoch 0.

Den Kehrwert haben wir ja schon ganz konkret in einer Java Übung ermitteln lassen.
Falls du wissen willst, wie du den Kehrwert in Java erstellen kannst – dann klicke hier.
 
Noch ein Beispiel.
Runden einer Zahl.
Wie bringst du dem Computer bei, dass er bei 8543 abrunden und bei 8545 aufrunden soll?
Auch hier benötigst du die Zehnerpotenzen aus dem Dezimalsystem.
Falls du wissen willst, wie man eine Zahl in einem Java Programm runden kann – dann schau dir diesen Beitrag an.
 
Und wahrscheinlich gibt es viel mehr Beispiele, wo du auf die Grundlagen des Dezimalsystems zugreifen musst.
 

Zusammenfassung:

• Das Dezimalsystem besteht aus 10 Ziffern. Die Ziffern 0 bis 9.
• Jede x-beliebige Zahl im Dezimalsystem lässt sich als 10 Potenz darstellen.
• Die Grundlage zum Potenzieren bildet die Addition.
• Mit Addition und Subtraktion lassen sich sämtliche Berechnungen im Dezimalsystem durchführen.
• Für die Java Programmierung ist es wichtig, das Dezimalsystem zu kennen und zu verstehen.
  Dadurch kannst du Algorithmen wie das Runden, den Kehrwert oder den Stellwert erstellen.

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